Bài I. Phân tích dữ liệu và xác suất (1,5 điểm)
Phần đầu tài liệu yêu cầu học sinh xây dựng bảng tần số và tần số tương đối dựa trên biểu đồ số lượng các loại xe ô tô bán được trong quý I năm 2025. Đây là kỹ năng thống kê cơ bản giúp học sinh biết xử lý và trình bày dữ liệu một cách khoa học. Ví dụ, xe 4 chỗ có tần số bán được là 35 chiếc chiếm 43,75%.
Phần tiếp theo là tính xác suất một biến cố, cụ thể xác suất chọn được thẻ mang số chia hết cho 4 từ 24 thẻ đánh số 1 đến 24. Học sinh luyện tập cách đếm trường hợp thuận lợi (các số 4,8,12,16,20,24) và chia cho tổng số trường hợp 24 để tìm xác suất, trong ví dụ này là 0,25.
Bài II. Đại số biểu thức và hàm số (1,5 điểm)
Bài tập yêu cầu tính giá trị của biểu thức A tại x=25, rút gọn biểu thức B và tìm giá trị lớn nhất của tích M=AB với điều kiện x≥0 và x≠1. Đây là bài tập tổng hợp giúp học sinh ôn lại kiến thức về phép tính đại số, phân tích biểu thức, và khảo sát hàm số. Ví dụ, biểu thức A khi x=25 có giá trị 7/6, biểu thức B được rút gọn thành một biểu thức đơn giản hơn.
Bài III. Giải toán thực tế và phương trình (2,5 điểm)
Phần này đưa ra bài toán hình học ứng dụng về khu vườn hình chữ nhật với diện tích thay đổi sau khi giảm chiều dài và tăng chiều rộng, giúp học sinh thực hành giải hệ phương trình và trình bày kết quả. Giải hệ phương trình đưa đến kích thước chiều dài 50m và chiều rộng 40m.
Bài toán tiếp theo là bài toán vận tốc liên quan đến một người đi xe máy trong 11 ngày với điều kiện thay đổi vận tốc đảm bảo hoàn thành quãng đường 1500 km đúng thời gian. Đây là bài toán thực tiễn giúp học sinh vận dụng kiến thức về chuyển động thẳng biến đổi để tìm vận tốc ban đầu là 30 km/h.
Cũng trong phần này, bài toán yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm đáp ứng điều kiện hình học của hình nón với các yếu tố liên quan đến bán kính, chiều cao, và đường sinh, giúp học sinh kết hợp kiến thức đại số và hình học không gian.
Bài IV. Hình học không gian và chứng minh hình học (4 điểm)
Bài toán đầu yêu cầu tính diện tích bề mặt hình cầu (viên bi đường kính 6 cm) cần sơn và thể tích nước còn lại trong cốc hình trụ sau khi thả viên bi vào, sử dụng công thức diện tích và thể tích hình cầu, hình trụ với π ≈ 3,14. Học sinh áp dụng kiến thức hình học không gian để ra kết quả, ví dụ diện tích cần sơn khoảng 113,04 cm², thể tích nước còn lại khoảng 671,96 cm³.
Phần tiếp theo là phần chứng minh về các tính chất hình học trong đường tròn (O) có đường kính CD và các điểm liên quan, như chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn, các đẳng thức và tính vuông góc giữa các tam giác, cũng như tính vị trí trung điểm giao nhau của các đoạn thẳng. Đây là bài tập hình học chứng minh giúp học sinh rèn luyện kỹ năng lôgic và lập luận chặt chẽ.
Bài V. Bài toán thực tế về tối ưu hóa (0,5 điểm)
Bài toán cuối đặt ra trường hợp một người nông dân có ngân sách hạn chế muốn xây dựng hàng rào hình chữ E với các mức giá khác nhau trên từng đoạn rào, yêu cầu tìm diện tích lớn nhất khu đất có thể rào được. Bài tập này giúp học sinh ứng dụng kiến thức tối ưu hàm số để giải quyết vấn đề thực tiễn sử dụng đại số và đạo hàm (hoặc phương pháp tọa độ). Kết quả cho diện tích tối đa là 6250 m².
