Trong các đề thi quan trọng, nhất là kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán, các bài toán về cực trị thường nằm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Thầy cô thấy có rất nhiều bạn học sinh gặp khó khăn khi xử lý những bài này, thường do chưa nắm vững các phương pháp cơ bản cũng như kiến thức liên quan tới bất đẳng thức và những đánh giá chính xác về hàm số. Vì vậy, trong tài liệu này, mình muốn chia sẻ để các em có thể hiểu và xử lý tốt hơn các dạng toán bất đẳng thức và cực trị xuất hiện trong đề thi thử và đề thi chính thức môn Toán.
Khái quát nội dung về các bài toán vận dụng cao mũ – logarit
CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT
I. MỞ ĐẦU
Trước tiên, để làm chủ các dạng bài tập về cực trị mũ – logarit, các em cần chắc chắn về những kiến thức cơ bản nền tảng liên quan đến bất đẳng thức và tính chất hàm số.
II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Đây là phần quan trọng mà các em bắt buộc phải nắm vững để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả:
- Bất đẳng thức AM – GM (Trung bình cộng – Trung bình nhân)
- Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
- Bất đẳng thức Minkowski
- Bất đẳng thức Holder
- Bất đẳng thức trị tuyệt đối
- Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
- Tính chất hàm đơn điệu
Những công cụ trên sẽ giúp các em phân tích và đánh giá các biểu thức một cách chuẩn xác, là tiền đề cho việc tìm cực trị.
III. CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT
Các dạng toán phổ biến trong chuyên đề này thường có cấu trúc và phương pháp giải như sau:
- Kỹ thuật rút thế – Đánh giá điều kiện đưa về hàm một biến số: Đây là kỹ thuật cơ bản nhất khi làm bài toán cực trị. Ta thường đi từ việc thế một biểu thức vào giả thiết rồi sử dụng đạo hàm kết hợp bất đẳng thức để giải quyết.
- Hàm đặc trưng: Ở dạng này, đề bài thường cho phương trình hàm đặc trưng. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm mối quan hệ giữa các biến rồi thế vào giả thiết khác để tìm kết quả. Thành thạo cách biến đổi để hiện ra hàm đặc trưng sẽ giúp các em giải được bài toán này dễ dàng.
- Các bài toán liên quan đến định lý Viète: Thông thường, ta sẽ đưa giả thiết phương trình logarit về dạng tam thức bậc hai, rồi áp dụng định lý Viète kèm các biến đổi logarit để tìm lời giải.
- Các bài toán liên quan đến biểu thức $ ext{log}_b a$: Chúng ta sẽ biến đổi giả thiết theo ẩn $ ext{log}_b a$ và khảo sát hàm số một biến đơn giản hơn.
- Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức: Đây chính là nội dung trọng tâm và cũng là dạng bài rất được quan tâm trong các đề thi. Phương pháp này lấy trực tiếp ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia Toán năm 2018 và có tính ứng dụng cao.
CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ
Bài toán chứa tham số luôn là phần quan trọng trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán. Thực tế, các bài toán này xuất hiện nhiều ở chương hàm số và chuyên đề mũ – logarit. Bản chất của chúng khá giống nhau, khác nhau chủ yếu ở các phép biến đổi và tính chất hàm số được áp dụng. Trong chương này, chúng ta tập trung nghiên cứu các dạng bài toán chứa tham số liên quan tới mũ – logarit.
I. MỞ ĐẦU
Các kỹ thuật và kiến thức được áp dụng chủ yếu là:
- Ứng dụng tam thức bậc hai
- Ứng dụng của đạo hàm
Chúng ta thường gặp một số bài toán đặc trưng như sau:
- Bài toán 1. Tìm giá trị tham số m để phương trình $f(x;m) = 0$ có nghiệm trên tập xác định D.
- Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình $f(x;m) extgreater 0$ hoặc $f(x;m) extless 0$ có nghiệm trên D.
- Bài toán 3. Tìm tham số m để bất phương trình $f(x) extgreater A(m)$ hoặc $f(x) extless A(m)$ đúng với mọi $x$ thuộc D.
II. CÁC BÀI TOÁN
Ở phần bài tập nâng cao và vận dụng, các em sẽ được làm quen với những ví dụ thực tế để luyện tập kỹ năng và kiến thức ở mức độ cao hơn, đảm bảo chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới.
