Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2025-2026 trường THCS Ngô Sĩ Liên gồm các bài toán đa dạng về đại số và hình học, nhằm đánh giá năng lực tư duy và kỹ năng giải toán của học sinh.
Bài toán 1: Số học
Cho số tự nhiên n > 1 sao cho hai số 8n + 1 và 24n + 1 là các số chính phương. Học sinh được yêu cầu chứng minh rằng số 8n + 3 là hợp số. Bài tập này giúp kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về số học, các tính chất của số chính phương và hợp số.
Bài toán 2: Hình học
Cho tam giác vuông tại A với AB < AC, đường cao AD (với D thuộc BC). Tia phân giác các góc trong tam giác nhỏ được xét xét như sau:
- Tia phân giác góc ADB cắt AB tại E.
- Tia phân giác góc ADC cắt AC tại F.
Các câu hỏi yêu cầu chứng minh:
- a) Biểu thức của AF theo góc C: AF = AC cdot frac{sin C}{sin C + cos C}.
- b) Tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC.
- c) Với M là trung điểm đoạn EF, đường thẳng BM cắt CE tại P. Chứng minh rằng tia PM là tia phân giác góc APC.
Bài tập tăng cường kỹ năng vận dụng kiến thức hình học và các tính chất về phân giác, đường cao cũng như đồng dạng tam giác.
Bài toán 3: Tổ hợp và tập hợp
Cho tập hợp A gồm 2025 số nguyên dương liên tiếp. Một tập hợp con B được gọi là “tốt” nếu mọi cặp phần tử phân biệt x, y trong B thỏa mãn: x + y không phải là bội số của y (hay ngược lại, tùy vào đề bài cụ thể). Học sinh được yêu cầu tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp B thỏa mãn điều kiện trên.
Bài tập này giúp rèn luyện tư duy toán học về tập hợp, kỹ năng phân tích các tính chất số học của phần tử trong tập hợp, đề cao khả năng lập luận và suy luận logic.
Nhìn chung, đề thi khảo sát giúp học sinh lớp 9 luyện tập sâu các dạng toán thịnh hành, nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi cuối cấp.
