Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán dành cho học sinh lớp 12 năm học 2024–2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương tổ chức vào ngày 21 tháng 08 năm 2024 tập trung vào các bài toán nâng cao giúp rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề toán học chuyên sâu.
Các dạng bài trọng tâm trong đề thi:
- Bài toán đổi dấu và tổ hợp: Với bảng n×n, mỗi ô điền số 1 hoặc −1, qua các bước chọn ô và đổi dấu các số trong hàng hoặc cột tương ứng. Bài tập yêu cầu tìm giá trị nguyên dương k lớn nhất sao cho từ mọi trạng thái ban đầu, sau hữu hạn bước có thể đạt được bảng có ít nhất k số 1. Ví dụ, bài cụ thể với n=4 và n=2025.
- Hình học phẳng và đường tròn: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn O, xét đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với các cạnh, cùng các điểm đặc biệt như J, M, N được đặt theo trung điểm các đoạn liên quan đến tâm bàng tiếp góc A. Học sinh cần chứng minh tính chất song song, tìm giao điểm P và chứng minh P nằm trên đường tròn O.
- Số học và lý thuyết số: Với số nguyên dương k và số nguyên tố p sao cho k≥1, xét số nguyên dương m không chia hết cho p. Đánh dấu m^a là số nguyên dương không quá p thỏa mãn điều kiện modulo. Bài tập yêu cầu chứng minh một đẳng thức modulo liên quan.
Đề thi mang tính thực tiễn cao, giúp học sinh hệ thống kiến thức toán học lớp 12 ở mức nâng cao, đặc biệt trong các mảng tổ hợp, hình học và lý thuyết số. Việc luyện tập với đề này giúp cải thiện kỹ năng phân tích bài toán, sử dụng phương pháp chứng minh và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề khó.
Học sinh và giáo viên có thể sử dụng đề thi này làm tài liệu ôn tập hiệu quả, đồng thời rèn luyện phương pháp giải đề theo yêu cầu trọng tâm các đề tuyển học sinh giỏi ở cấp quốc gia.
