Nguyên hàm - Tích phân
1. Nguyên hàm của một hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K. Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x)=f(x) với mọi x thuộc K. Nếu F(x) là nguyên hàm thì họ nguyên hàm của f là F(x)+C với C là hằng số.
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm: Cho f,g là hàm số liên tục trên K, k là số thực khác 0 thì nguyên hàm có các tính chất:
- Kf(x)dx=k∫f(x)dx
- ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
- ∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
- Nguyên hàm hàm lũy thừa và hàm logarithm: ∫x^α dx=x^{α+1}/(α+1)+C, với α≠-1 và ∫(1/x)dx=ln|x|+C
- Nguyên hàm các hàm lượng giác: ∫cos x dx=sin x+C, ∫sin x dx=-cos x+C, ∫tan x dx=-ln|cos x|+C, ∫cot x dx=ln|sin x|+C
- Nguyên hàm hàm mũ: ∫e^x dx=e^x+C, ∫a^x dx=a^x/ln a +C với a>0,a≠1
Bài tập thực tế
Dưới đây là các bài tập ứng dụng nguyên hàm và tích phân trong các tình huống thực tế như vận động chuyển động, tính quãng đường, vận tốc, thể tích, diện tích, tính lợi nhuận, tính chi phí, mức nước,... Các bài tập giúp học sinh lớp 12 luyện tập vận dụng kiến thức đã học vào thực tế.
- Bài tập tính quãng đường ô tô sau khi phanh.
- Bài tập xác định vận tốc tại một thời điểm dựa vào gia tốc.
- Bài toán tính lợi nhuận dựa trên tốc độ tăng trưởng.
- Bài tập sử dụng tích phân tính diện tích các hình phẳng có đường cong parabol.
- Bài tập tính thể tích các vật thể quay quanh trục cho bởi đồ thị parabol.
- Bài tập tính thể tích các vật thể thực tế như lều trại, cửa sắt, cầu, chóp tứ giác đều.
- Bài tập mô hình thực tế như vận động viên điền kinh, mực nước hồ, tăng trưởng vi khuẩn, dân số.
Toàn bộ tài liệu đầy đủ lý thuyết có ví dụ và hệ thống bài tập thực tế đa dạng, hỗ trợ hiệu quả cho quá trình ôn thi và giảng dạy môn Toán lớp 12.
